0 (0) [拼音]:Posong guocheng [英文]:Poisson process 一种累计随机事 […]

【世界杯买球】 泊松过程

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(0)

[拼音]:Posong guocheng

[英文]:Poisson process

一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随著时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数,就构成一个泊松过程。用数学语言说,满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。

(3)增量X(t)-X(s) (t>s)的概率分布为泊松分布,即

,式中Λ(t)为非降非负函式。若X还满足④X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s,则称X为齐次泊松过程;这时Λ(t)=

λ

t,式中常数

λ

>0称为过程的强度,因为EX(t)=Λ(t)=

λ

t,

λ

等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程,通常可取它的每个样本函式都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函式。可以证明,样本函式具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程,因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上,只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的,而且在充分小的区间上最多只发生一次,它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段[0,t)内产生故障的次数,一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数,都可假定为泊松过程。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程,后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

齐次泊松过程的特征

,表示X(t)发生相邻两次跳跃的时间间距,则计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为{τn,n≥1}是相互独立同分布的,且

,其中

λ

为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是:固定t,X(t)是引数为

λt的泊松分布随机变数,而当X(t)=k已知的条件下,X的k个跳跃时刻

与 k个在[0,t)上均匀分布且相互独立的随机变数的次序统计量(见统计量)有相同的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫过程来看,齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看,齐次泊松过程X是使{X(t)-

λ

t,t≥0}为鞅的跃度为1的计数过程。

泊松过程的推广

较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程,更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的,但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些装置的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定,就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某装置在[0,t)时段内故障的累计次数N(t)是泊松过程,而每次故障造成的耗损不尽相同,用随机变数Yi表示第i次耗损,则在[0,t)内总的耗损为

。当{N(t),t≥0}为齐次泊松过程,{Yi,i≥1}又是相互独立同分布且与{N(t)}独立时,X

={X(t),t≥0}称为复合泊松过程。

由于{N(t),t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti,i≥1}来规定,

因而复合泊松过程可用{(TnYn),n≥1}来规定,即

。若对{(Tn,Yn),n≥1}的统计特性不作任何假定,这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程,常称为标值点过程,也称多变点过程或跳跃过程。

泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外,又是众多重要随机过程的特例。独立增量过程的莱维-伊藤分解表明,利用它还可构成一般的独立增量过程,因而它在随机过程中佔有特殊地位,也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。

参考书目

E. Parzen,Stochastic Processes,Holden-Day,lnc., San Francisco, Calif., 1962.

D.L.斯奈德著,樑之舜、邓永录译:《随机点过程》,人民教育出版社,北京,1982。(D.L.Snyder,Random Point Processes,John Wiley & Sons,New York,1975.)

伊藤清著,刘璋温译:《随机过程》,上海科学技术出版社,上海,1962。(伊藤清著:《确率?波书店,东京,1958。)

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