0 (0) [拼音]:suanshuqun [英文]:arithmetic group 李群中带有算术性质的一 […]

【汇旺担保】 算术群

0
(0)

[拼音]:suanshuqun

[英文]:arithmetic group

李群中带有算术性质的一类离散子群。例如,实数域R中的整数全体Z;GL(n,R)中的GL(n, Z);SL(n, R)中的SL(n,Z)等。令G=GL(n, R),Г= GL(n,Z),若GL(n,Q)的子群G′是与Г相称的,则G′称为GL(n,R)中的算术子群。所谓群H的子群H1与H2是相称的,意即H1∩H2在H1及H2中的指数[H1:H1∩H2]与[H2:H1∩H2]都是有限的。相称关系是个等价关系。设G是定义在有理数域Q上的线性代数群,GQ表G的Q有理点所成的子群, 又令GZ=GQ∩GL(n,Z),若GQ的子群Г与GZ相称,则Г称为G的算术子群。这个性质是与G如何嵌入在GL(n,坴)中无关的。

如果Г 能同构于G 的一个算术子群, 则Г 称为算术群。显然,算术群中的有限指数的子群都是算术群。算术群是较为广泛的一种群,诸如有限群、有限生成的交换群、无挠的有限生成幂零群以及有限生成的非交换自由群都是算术群;如果环R又是有限秩自由Z 模,那么环R的所有单位所成的乘法群R+,都是算术群;特别地,代数数域K的整数环

的乘法群

,都是算术群。

还有一类重要的算术群。自然同态 ω:GL(n,Z)→GL(n,Z/qZ)下的核Kerω=Гq,称主同馀子群,这里ω是把任一n阶整系数方阵(gij)对映到方阵(

ij)∈GL(n,Z/qZ),其中q为大于1的正整数,而

ij是整数gij所属的模q剩馀类。含主同馀子群Гq的算术子群Г,Гq嶅Г∩GL(n,Z)称同馀子群。所以同馀子群必然是算术子群,但是,每个算术子群Г是否都是同馀子群,即是否有q使Г∩GL(n,Z)叾Гq,这是算术群理论中的一个核心问题,并称之为同馀子群问题。当G=SL(n,R),n≥3时,同馀子群问题已有肯定答案,而n=2时是否定的。对G是别的分裂型单连通单代数群时,也有类似结果。

最早研究的算术群是SL(2,Z),称为模群。设H是复数平面的上半平面,即H ={z=x+iy∈C│y>0},矩阵

以下列方式作用在H上:

z ∈H,SL(2,Z)是SL(2, R)中的算术子群,对于这个算术子群SL(2,Z)可以找到H的一个子集D,使D是SL(2,Z)在H上的基本域,即满足①SL(2,Z)·D=H,②若g′∈SL(2,Z),则集合{g∈SL(2,Z)|gD∩g′D≠═}是有限集,也可以对一般算术群定义基本域。研究基本域的存在,紧致性、测度等方面的理论,称为算术群的简约理论。它也是算术群理论中的一个核心问题。早在19世纪,C.F.高斯和J.W.R.戴德金等人在研究椭圆函式的时候,就涉及模群SL(2, Z)及模群下不变的模函式,高斯在讨论正定二元二次型的整等价分类时,也已经知道模群的基本域。20世纪30年代C.L.西格尔研究算术群SL(n,Z),并作出了它的基本域,称为西格尔区域,而SL(n,Z)称为西格尔模群。至于一般线性代数群中算术群的研究,则是在60年代由A.博雷尔、哈里什-钱德拉以及J.蒂茨开始。这个概念就是首先在他们研究李群中的格的存在性时产生的。随后,A.赛尔伯格和其他人提出了一个著名的猜想:R-秩大于2的任一半单李群的不可约格皆是算术的。经过博雷尔、M.拉格休内森等许多著名数学家的努力工作,这一猜想最后为G.A.马圭利斯所证实,他因此获得1978年的费尔兹奖。这些工作大大地推动和丰富了算术群的研究。

参考书目

A.Borel,Introduction aux Groupes Arithméti-ques,Hermann, Paris. 1969.

J.E.Humphreys,Arithmetic Groups,Lecture Notes in Math.789,Springer-Verlag, Berlin, 1980.

M.S.Raghunathan,Discrete Subgroups of Lie Groups,Springer-Verlag, Berlin, 1972.

G.A.Margulis,Arithmeticity of Irreducible lattices in Semi-Simple Groups of rank Greater Than 1,Mir.,Moscow, 1971.

更多信息: 担保 yu444 汇旺担保 搬砖 汇旺担保 车队 汇旺担保 芝麻开门 汇旺担保 qq记录 汇旺担保 柬埔寨

这篇文章有用吗?

点击星号为它评分!

平均评分 0 / 5. 投票数: 0

到目前为止还没有投票!成为第一位评论此文章。

【汇旺担保 @gqdh8】 郎伞木

药材名称:郎伞木名称出处:《新华本草纲要 Read more

【汇旺担保 @gqdh8】 雪见草根

药材名称:雪见草根名称出处:《陕西中药名 Read more

【汇旺担保 @gqdh8】 鱼鳖金星

药材名称:鱼鳖金星名称出处:《纲目拾遗》 Read more