0 (0) [拼音]:bushiding wenti [英文]:ill-posed problem 在经典的数 […]

不适定问题

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[拼音]:bushiding wenti

[英文]:ill-posed problem

在经典的数学物理中,人们只研究适定问题。适定问题是指满足下列三个要求的问题:

(1)解是存在的;

(2)解是惟一的;

(3)解连续依赖于定解条件。这三个要求中,只要有一个不满足,则称之为不适定问题。特别,如果条件③不满足,那么就称为阿达马意义下的不适定问题。一般地说不适定问题,常常是指阿达马意义下的不适定问题。

不适定问题的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西问题:

其资料u0(x)和u1(x)作微小的变动,往往使解产生很大的变化。其他的一些不适定问题有:第一种弗雷德霍姆积分方程、反向热导方程的边值问题、波动方程的狄利克雷问题和不少微分方程的反问题,等等。

在一段时间里,人们认为不适定问题不反映任何物理现象,而无研究价值。随著生产和科学技术的发展,各种各样的不适定问题出现在许多领域中,如地球物理、连续介质力学、自动控制、大气物理、全息照相、天体力学、热力学、 电磁学、 热扩散理论、电子聚焦问题等。上述的拉普拉斯方程的柯西问题、波动方程对非空向 (nonspace-like)初始流形的初值问题,在地球物理勘探的资料解释和资料处理中,皆具有重要的应用。

由于这些问题的资料常常是通过测量给出的近似值,问题通常没有精确解。因此,人们就去寻找满足方程但只是近似地适合定解条件的所谓近似解,或近似地满足方程的近似解。当然,这些近似解一般是没有惟一性的,但是若对近似解所在的函式类加以适当的限制,例如紧性的限制,便可以保证近似解对资料的连续依赖性。

在求问题数值解时,须明确在什么度量下对近似解加以紧性限制,使问题变为适定,且切合实际的需要。

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